Question

已知x=1为函数f（x）=（x²-ax+1）e^x的一个极值点．
（1）求a及函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[-2，2]，t∈[1，2]，f（x）≥t²-2mt+2恒成立，求m取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）′=[x²+（2-a）x+（1-a）]e^x=（x+1）（x+1-a）e^x，
由f′（1）=0得：a=2，
∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，
f（x）在（-1，1）上单调递减
（2）x∈（-2，2）时，f（x）最小值为0
∴t²-2mt+2≤0对t∈[1，2]恒成立，分离参数得：
易知：t∈[1，2]时，
∴
分析：（1）先求导函数，利用1是函数的一个极值点，可求a=2，从而可得函数的单调区间；
（2）由于x∈（-2，2）时，f（x）最小值为0，所以问题等价于t²-2mt+2≤0对t∈[1，2]恒成立，分离参数可求．
点评：本题以函数的极值为载体，考查极值的求法，考查函数的单调区间，考查了函数恒成立的处理方法，注意正确运用最值法．