Question

【题目】已知函数f（x）=x2+2mx+3m+4，
（1）若f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，求m的取值范围；
（2）求f（x）在[0，2]上的最大值g（m）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=x2+2mx+3m+4，

∴f（x）的对称轴是x=﹣m，

又∵f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，

∴﹣m≥1，解得m≤﹣1，

∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]

（2）解：f（x）的对称轴为x=﹣m

当﹣m≥1，即m≤﹣1时，

f（x）在[0，2]上的最大值g（m）=f（0）=3m+4，

当﹣m＜1，即m＞﹣1时，

f（x）在[0，2]上的最大值g（m）=f（2）=7m+8，

∴

【解析】（1）由f（x）的对称轴是x=﹣m，f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，得﹣m≥1，由此能求出m的取值范围．（2）由f（x）的对称轴为x=﹣m，根据m≤﹣1和m＞﹣1两种情况分类讨论能求出f（x）在[0，2]上的最大值g（m）．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．