Question

如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，E′和F′是平面ABCD内的两点，E′E和F′F都与平面ABCD垂直，
（Ⅰ）证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；
（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF的体积。

Answer 1

(1)证明：由于EA=ED且ED′⊥面ABCD， ∴E′D=E′C， ∴点E′在线段AD的垂直平分线上，同理点F′在线段BC的垂直平分线上， 又ABCD是四方形， ∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线， 即点E′F′都在线段AD的垂直平分线上， 所以，直线E′F′垂直平分线段AD。
(2)解：连接EB、EC， 由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E-ABCD 和正四面体E-BCF两部分， 设AD中点为M，在Rt△MEE′中， 由于ME′=1，， ∴， ∴VE-ABCD， 又VE-BCF=VC-BEF=VC-BEA=VE-ABC ， ∴多面体ABCDEF的体积为VE-ABCD+VE-BCF=。