Question

(12分)如图，在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，点E、M分别为A₁B、C₁C的中点，过点A₁，B，M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N.

（Ⅰ）求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；

（Ⅱ）求二面角B―A₁N―B₁的正切值.

Answer 1

解析：（Ⅰ）证明：取A₁B₁的中点F，连EF，C₁F   ∵E为A₁B中点   ∴EF∥ BB₁

又∵M为CC₁中点 ∴EF∥ C₁M∴四边形EFC₁M为平行四边形  ∴EM∥FC₁ 

而EM 平面A₁B₁C₁D₁ . FC₁平面A₁B₁C₁D₁ .

∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁………………6分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（Ⅱ）由⑴EM∥平面A₁B₁C₁D₁ 

EM平面A₁BMN

平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N  

∴A₁N// EM// FC₁   ∴N为C₁D₁ 中点

过B₁作B₁H⊥A₁N于H，连BH，

根据三垂线定理  BH⊥A₁N

∠BHB₁即为二面角B―A₁N―B₁的平面角……8分

设AA₁=a， 则AB=2a，  ∵A₁B₁C₁D₁为正方形

∴A₁H=    又∵△A₁B₁H∽△NA₁D₁

∴B₁H=，在Rt△BB₁H中，tan∠BHB₁=

即二面角B―A₁N―B₁的正切值为……12分  （空间向量按步骤给分）