Question

（本小题共12分）

如图，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA₁=

（1）求证：BC₁//平面A₁DC；

（2）求二面角D—A₁C—A的大小

 

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）设二面角D—A₁C—A的大小为

【解析】（I）证明：连结AC₁交A₁C于点G，连结DG，

在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，

…………2分

…………4分

（II）解法一： 过点D作交AC于E，过点D作交A₁C于F，连结EF。

是二面角D—A₁C—A的平面角，…………8分

在直角三角形ADC中，

同理可求：

…………12分

解法二：过点A作交BC于O，过点O作交B₁C₁于E。

因为平面

所以，分别以CB、OE、OA所在的直线为建立空间直角坐标系，

如图所示，因为是等边三角形，所以O为BC的中点，则

…6分 设平面A₁DC的法向量为

则

取……8分

可求平面ACA₁的一个法向量为…………10分

设二面角D—A₁C—A的大小为

…………12分