Question

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（1）解关于x的不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（2）如果对任意的x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）不等式可化为 2x²-|x-1|≤0，分类讨论，却掉绝对值，求出不等式的解集．
（2）由题意可得c≤2x² -|x-1|恒成立，令函数F（x）=

2x2-x+1，x≥1 2x2+x-1，x＜1

，分类讨论求得F（x）的最小值，可得实数c的取值范围．

解答： 解：（1）由题意可得，g（x）和f（x）互为反函数，故g（x）=-x²+2x，
故不等式g（x）≥f（x）-|x-1|，即-x²+2x≥x²+2x-|x-1|，即2x² ≤|x-1|，
∴x-1≥2x² ①，或x-1≤-2x² ②，解①求得x∈∅；解②求得-1≤x≤

1

2

．
综上可得，要求的不等式的解集为[-1，

1

2

]．
（2）由题意可得-x²+2x+c≤x²+2x-|x-1|恒成立，即c≤2x² -|x-1|恒成立．
令函数F（x）=

2x2-x+1，x≥1 2x2+x-1，x＜1

，∴当x≥1时，F（x）min=F（1）=2；
当x＜1时，F_min（x）=F（-

1

4

）=-

9

8

，
综上，可得函数F（x）的最小值为-

9

8

，
所以，实数c的取值范围是（-∞，-

9

8

]．

点评：本题考查求函数的解析式的方法以及解绝对值不等式的方法，体现了分类讨论的数学思想．