Question

三个女生和四个男生排成一排．
（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？
（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？
（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？

Answer 1

【答案】分析：（1）用捆绑法，分两步进行，先3名女生看为一个整体，再将其与4名男生进行全排列，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案；
（2）用插空法，分两步进行，先将4名男生全排列，有5个空位，在5个空位中任选3个，安排3名女生，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案；
（3）分两步进行，首先在4名男生中任取2人，安排在两端，再将剩余的5人安排在其他5个位置，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案；
（4）用排除法，首先计算7人进行全排列的情况数目，再计算两端都站女生即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，的情况数目，用排除法即可得答案；
（5）只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边，分析左右两边的顺序情况即可得答案；
（6）分两步进行，先在7个位置中安排3名女生，再将剩余4个位置安排4名男生，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．
解答：解：（1）根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有A₃³种情况，
再将其与4名男生进行全排列，有A₅⁵种情况，
则共有A₅⁵×A₃³=720种排法；
（2）用插空法，先将4名男生全排列，有A₄⁴种情况，
排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有A₅³种情况，
则共有种排法；
（3）在4名男生中任取2人，安排在两端，有2C₄²种情况，
再将剩余的5人安排在中间的5个位置，有A₅⁵种情况，
则共有2C₄²×A₅⁵=1440种排法；
（4）用排除法，
7人进行全排列，有A₇⁷种排法，
两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有A₃²•A₅⁵种站法，
则共有种排法；
（5）只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边，
由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，
则有种排法；  
（6）先在7个位置中安排3名女生，有A₇³种排法，
剩余4个位置安排4名男生，有2种情况，
则有种排法．
点评：本题考查排列、组合的运用，注意优先分析特殊位置、特殊元素；其次要掌握不相邻问题采用插空法，相邻问题采用捆绑法等常见问题的处理方法．