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设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立,则
bcosca
的值等于
 
分析:作为一个选择题,可以令C取特殊值来求值,作为一个解答题,需将af(x)+bf(x-c)=1用和差角公式进行变形,利用恒成立的意义转化成关于a,b,c的方程,解出a,b,c的值,进而求解.
解答:解:令c=π,则对任意的x∈R,都有f(x)+f(x-c)=2,于是取a=b=
1
2
,c=π,
则对任意的x∈R,af(x)+bf(x-c)=1,由此得
bcosC
a
=-1.
一般地,由题设可得f(x)=
13
sin(x+∅)+1,f(x-c)=
13
sin(x+∅-c)+1,其中0<∅<
π
2
且tan∅=
2
3
,,
于是af(x)+bf(x-c)=1可化为
13
asin(x+∅)+
13
bsin(x+∅-c)+a+b=1,即
13
asin(x+∅)+
13
bsin(x+∅)cosC-
13
bcos(x+∅)sinC+a+b-1=0,
所以
13
(a+bcosC)sin(x+∅)-
13
sinCcos(x+∅)++a+b-1=0,
由已知条件,上式对任意x∈R恒成立,故必有
a+bcosC=0
bsinC=0
a+b-1=0

若b=0,则由(1)知a=0,显然不满足(3)式,故b≠0.所以,由(2)知sinc=0,故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z).当c=2kπ时,cosc=1,则(1)、(3)两式矛盾,故c=2kπ+π(k∈Z),cosc=-1.由(1)、(3)知a=b=
1
2
,所以
bcosC
a
=-1.
点评:本题考查三角函数和差角公式的运用与恒成立条件的转化.解题过程中对不确定的情况要善于分类讨论.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=3sin(2x+
π
3
),给出四个命题:①它的周期是π;②它的图象关于直线x=
π
12
成轴对称;③它的图象关于点(
π
3
,0)成中心对称;④它在区间[-
12
π
12
]上是增函数.其中正确命题的序号是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
3
sinθ
3
x3+
cosθ
2
x2+4x-1
,其中θ∈[0,
6
],则导数f′(-1)的取值范围是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=3sin(ωx+
π
4
)(ω>0),x∈(-∞,+∞),且以
3
为最小正周期.
(1)求f(x)的解析式;
(2)已知f(
2
3
a+
π
12
)=
12
5
,求sinα的值.

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设函数f(x)=3sin(2x+
π
3
),给出四个命题:①它的周期是2π;②它的图象关于直线x=
π
12
成轴对称;③它的图象关于点(-
π
3
,0)成中心对称;④它在区间[-
12
π
12
]上是增函数.其中正确命题的序号是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=3sin(2x+φ),φ∈(-π,0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=
π
8

(1)求φ;
(2)求y=f(x)的减区间;
(3)当x∈[0,
π
2
]
时求y=f(x)的值域.

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