Question

1．已知函数f（x）=2x²-（m²+m+1）x+15，g（x）=m²x-m，其中m∈R．
（1）若f（x）+g（x）+m≥0，对x∈[1，4）恒成立，求实数m的取值范围；
（2）设函数$F（x）=\left\{{\begin{array}{l}{g（x），x≥0}\\{f（x），x＜0}\end{array}}\right.$
①对任意的x₁＞0，存在唯一的实数x₂＜0，使其F（x₁）=F（x₂），求m的取值范围；
②是否存在求实数m，对任意给定的非零实数x₁，存在唯一非零实数x₂（x₁≠x₂），使其F（x₂）=F（x₁），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x）+g（x）+m≥0对x∈[1，4）恒成立，及$m≤\frac{{2{x^2}-x+15}}{x}$对x∈[1，4）恒成立解，求出$y=\frac{{2{x^2}-x+15}}{x}=2x+\frac{15}{x}-1$的最小值即可．
（2）当x＞0时，F（x）=m²x-m∈（-m，+∞）=A，当x＜0时，F（x）∈（15，+∞）=B
①由A⊆B，求出m的范围；
②假设存在实数m，则$\left\{{\begin{array}{l}{A⊆B}\\{B⊆A}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{-m≥15}\\{15≥-m}\end{array}}\right.⇒m=-15$求出m的值．

解答 解：（1）由f（x）+g（x）+m≥0对x∈[1，4）恒成立，
及$m≤\frac{{2{x^2}-x+15}}{x}$对x∈[1，4）恒成立
令$y=\frac{{2{x^2}-x+15}}{x}=2x+\frac{15}{x}-1$
在$（0，\frac{{\sqrt{30}}}{2}]$上递减，在$[\frac{{\sqrt{30}}}{2}，+∞）$递增
∴${y_{min}}=2\sqrt{30}-1$∴$m≤2\sqrt{30}-1$…（6分）
（2）$F（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}x-m，x≥0}\\{2{x^2}-（{m^2}+m+1）x+15，x＜0}\end{array}}\right.$，
m=0，不满足题意，∴m≠0
当x＞0时，F（x）=m²x-m∈（-m，+∞）=A，当x＜0时，F（x）∈（15，+∞）=B
①依题意A⊆B，∴-m≥15即m≤-15…（9分）
②假设存在实数m，则$\left\{{\begin{array}{l}{A⊆B}\\{B⊆A}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{-m≥15}\\{15≥-m}\end{array}}\right.⇒m=-15$
故所求m存在为-15．…（12分）

点评 本题考查了函数恒成立、任意、存在性问题，转化思想是关键，属于中档题．