【题目】用空间向量解决下列问题：如图，在斜三棱柱
中， 
是
的中点， 
⊥平面
， 
， 
．
（1）求证： 
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】试题分析：先由线面垂直的性质可证明
，由三角形中位线定理及
，可证明
，从而可以以
为原点，直线
、
、
分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系. （1）分别求出
， 
，可得
，从而可得
；（2）分别求出平面
的一个法向量
与平面
的一个法向量
，由空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析：取
的中点
，连结
，
⊥平面
， 
， 
平面，
， 
，
、
分别是
、
的中点， 
，
又
， 
，
所以，可以以
为原点，直线
、
、
分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系，设
，于是
， 
， 
，
， 
，
（1）
， 
，
，即
.
（2）由（1）知
， 
， 
， 
,设
是平面
的一个法向量，由
，
，取
，得
， 
， 
，
设
是平面
的一个法向量，由
，
，取
，得
，
， 
， 又因为二面角
为锐二面角，所以，二面角的余弦值为
．
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【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC, 
,且四棱锥P-ABCD的体积为
，求该四棱锥的侧面积.
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【题目】如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（ ） 
A.
B.
C.
D.
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【题目】从某学校高三年级共
名男生中随机抽取
名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于
和
之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组
；第二组
，
，第八组
，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，若第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（
）估计这所学校高三年级全体男生身高
以上（含）的人数．
（
）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图．（铅笔作图并用中性笔描黑）．
（
）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为
、
，求满足
的事件概率．
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【题目】某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该学校高中部推荐2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人。若从6名学生中人选2人做代表。
求：（1）选出的2名同学来自不同年相级部且性别同的概率；
（2）选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率。
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【题目】已知函数f（x）=ex﹣e﹣x ， 下列命题正确的有 ． （写出所有正确命题的编号）
①f（x）是奇函数；
②f（x）在R上是单调递增函数；
③方程f（x）=x2+2x有且仅有1个实数根；
④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2．
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【题目】已知从椭圆
的一个焦点看两短轴端点所成视角为
,且椭圆经过
.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数
,使直线
与椭圆有两个不同交点
，且
（
为坐标原点），若存在,求出
的值.不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆
： 
的上下两个焦点分别为
， 
，过点
与
轴垂直的直线交椭圆
于
、
两点， 
的面积为
，椭圆
的离心力为
．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）已知
为坐标原点，直线
： 
与
轴交于点
，与椭圆
交于
， 
两个不同的点，若存在实数
，使得
，求
的取值范围．
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【题目】某学校高一年级有学生
名，高二年级有
学生名.现用分层抽样方法（按高一年级、高二年级分二层）从该校的学生中抽取
名学生，调查他们的数学学习能力.
（Ⅰ）高一年级学生中和高二年级学生中各抽取多少学生？
（Ⅱ）通过一系列的测试，得到这名学生的数学能力值.分别如表一和表二
表一：
高一年级 |
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人数 |
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表二：
高二年级 |
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人数 |
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①确定
，并在答题纸上完成频率分布直方图；
②分别估计该校高一年级学生和高二年级学生的数学能力值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
③根据已完成的频率分布直方图，指出该校高一年级学生和高二年级学生的数学能力值分布特点的不同之处（不用计算，通过观察直方图直接回答结论）
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