Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+（2a﹣1）x﹣lnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，11），求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间（2，3）上单调，求实数a的取值范围；
（3）设 ，若对x1∈（0，+∞），x2∈[0，π]，使得f（x1）+g（x2）≥2成立，求整数a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得， ，

∴f'（1）=2（2a﹣1），∵f（1）=3a﹣1，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2（2a﹣1）（x﹣1）+3a﹣1，

代入点（2，11），得a=2

（2）解：∵ ，

∴若函数f（x）在区间（2，3）上单调递增，则y=2ax﹣1≥0在（2，3）恒成立，∴ ，得 ；

若函数f（x）在区间（2，3）上单调递减，则y=2ax﹣1≤0在（2，3）恒成立，∴ ，得 ，

综上，实数a的取值范围为

（3）解：由题意得，fmin（x）+gmax（x）≥2，

∵ ，∴ ，即 ，

由 ，

当a≤0时，∵f（1）＜0，则不合题意；

当a＞0时，由f'（x）=0，得 或x=﹣1（舍去），

当 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，

当 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．

∴ ，即 ，

整理得， ，

设 ，∴ ，∴h（x）单调递增，∵a∈Z，∴2a为偶数，

又∵ ， ，

∴2a≥4，

故整数a的最小值为2

【解析】（1）根据题意，对f（x）进行求导，由导数的几何意义分析可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程，代入点（2,11），计算可得答案，（2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（2,3）上单调递增和单调递减两种情况讨论，综合即可得答案，（3）由题意，fmin（x）+gmax（x）≥2，即 f ( x ) = a x 2 + ( 2 a 1 ) x l n x ≥ ，对f（x）求导后对a进行分类讨论即可得答案.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．