Question

【题目】设△ABC的三个内角分别为A，B，C．向量 共线． （Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，试判断△ABC的形状．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ 与 共线， ∴ =cos （ sin +cos ）= sinC+ （1+cosC）=sin（C+ ）+ ，
∴sin（C+ ）=1，∴C= ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2acosC+c=2b，即a+c=2b①，
根据余弦定理可得：c2=a2+b2﹣ab②，
联立①②解得：b（b﹣a）=0，
又b＞0，∴b=a， ，所以△ABC为等边三角形
【解析】（Ⅰ）由 与 共线，可得三角等式，运用三角恒等变换进行化简，即可解得C值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2acosC+c=2b，即a+c=2b①，再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣ab②，由①②消掉c可得b（b﹣a）=0，从而得a=b，于是得到结论；