Question

已知F₁、F₂为双曲线的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，下列四个命题：
①△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线x=3上；
②△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线x=2上；
③△PF₁F₂的内切圆的圆心必在直线OP上；
④△PF₁F₂的内切圆必过（3，0）．
其中真命题的序号是________．

Answer 1

①④
分析：设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，点P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，因此|F₁M|-|F₂M|=2a，设M点坐标为（x，0），代入即可求得x，判断①④正确．
解答：设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，点P在双曲线右支上，所以|PF₁|-|PF₂|=2a=6，故|F₁M|-|F₂M|=6，而|F₁M|+|F₂M|=2，
设M点坐标为（x，0），
则由|PF₁|-|PF₂|=2a=6，可得（x+）-（-x）=6，解得x=3，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，
故答案为①④．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．特别是灵活利用了双曲线的定义．