Question

函数f(x)=sin2x+2

2

cos(

π

4

+x)+3的最小值是

2-2

2

．

Answer 1

分析：把函数解析式的前两项利用诱导公式sin（

π

2

-α）=cosα，以及cos（

π

2

-α）=cosα及二倍角的余弦函数公式进行变形，然后利用完全平方公式化简，由正弦函数的值域即可得到函数的最小值．

解答：解：f(x)=sin2x+2

2

cos(

π

4

+x)+3
=cos（2x-

π

2

）+2

2

cos[

π

2

-（

π

4

-x）]+3
=1-2sin²（x-

π

4

）+2

2

sin（

π

4

-x）+3
=4-[2sin²（x-

π

4

）+2

2

sin（

π

4

-x）+1]+1
=5-[

2

sin（x-

π

4

）+1]²，
∵sin（x-

π

4

）∈[-1，1]，
∴函数的最小值为5-（

2

+1）²=2-2

2

．
故答案为：2-2

2

点评：此题考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的值域，以及完全平方公式的应用，其技巧性比较强，熟练掌握公式是解本题的关键．