Question

（2012•许昌三模）已知函数f（x）=e^x，若函数g（x）满足f（x）≥g（x）恒成立，则称g（x）为函数f（x）的下界函数．
（Ⅰ）若函数g（x）-kx是f（x）的下界函数，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）证明：对于?m≤2，，函数h（x）=m+lnx都是f（x）的下界函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若函数g（x）=kx是f（x）的下界函数，则k＜0不成立而k=0必然成立；当k＞0时，若g（x）=kx是f（x）的下界函数，则f（x）≥g（x）恒成立，即e^x-kx≥0恒成立．构造函数h（x）=e^x-kx，求得h（x）_min≥0，即可求得实数k的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数G（x）=ex是f（x）=e^x的下界函数，证明h（x）=m+lnx是G（x）=ex的下界函数，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：若函数g（x）=kx是f（x）的下界函数，则k＜0不成立而k=0必然成立．----（2分）
当k＞0时，若g（x）=kx是f（x）的下界函数，则f（x）≥g（x）恒成立，即e^x-kx≥0恒成立．
令h（x）=e^x-kx，则h′（x）=e^x-k．
令h′（x）＜0，则x＜lnk，h′（x）＞0，则x＞lnk，
∴函数h（x）在（-∞，lnk）单调递减，（lnk，+∞）上单调递增．----（4分）
由h（x）≥0得h（x）_min=h（lnk）=k-klnk≥0，解得0＜k≤e．
综上：0≤k≤e．----（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知函数G（x）=ex是f（x）=e^x的下界函数．即f（x）≥G（x）恒成立----（8分）
若m≤2，构造函数F（x）=ex-lnx-m（x＞0），则F′（x）=

ex-1

x

令F′（x）＜0，则x＜

1

e

，F′（x）＞0，则x＞

1

e

，
∴函数h（x）在（-∞，

1

e

）单调递减，（

1

e

，+∞）上单调递增．
∴F（x）_min=F（

1

e

）=2-m≥0----（10分）
即h（x）=m+lnx是G（x）=ex的下界函数，即G（x）≥h（x）恒成立．
所以，f（x）≥G（x）≥h（x）恒成立，即h（x）=m+lnx是f（x）=e^x的下界函数．----（12分）

点评：本题考查利用函数的导函数求函数的最值，考查函数的单调性，考查新定义，属于中档题．