Question

如图，已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝

（1）求证：平面EAB⊥平面ABCD

（2）求二面角A－EC－D的余弦值

 

Answer 1

【答案】

（1）先证EO⊥平面ABCD即可得证  （2）

【解析】

试题分析：（1）证明：取AB的中点O，连接EO，CO

△AEB为等腰直角三角形

∴EO⊥AB，EO＝1

又∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，

，又

∵EO⊥平面ABCD，又EO平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD

（2）以AB的中点O为坐标原点，OB所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，如图建系则

，，＝

（0，2，0）

设平面DCE的法向量为，则，即，解得：

同理求得平面EAC的一个法向量为

，所以二面角A－EC－D的余弦值为

考点：用空间向量求平面间的夹角 平面与平面垂直判定 二面角的平面角及求法

点评：本题给出特殊四棱锥，求证面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了空间线面垂直、

面面垂直的判定与性质和利用空间向量的方法求面面所成角的知识，属于中档题.