Question

如图，已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=

2

．
（I）求证：平面EAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）取AB的中点为O，利用线面垂直的判定方法证明EO⊥平面ABCD，再利用面面垂直的判定方法证明平面EAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面CDE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

解答：（I）证明：取AB的中点为O．
∵AE=BE=

2

，AB=2，
∴△AEB为等腰直角三角形
∴EO⊥AB，EO=1
∵AB=BC，∠ABC=60°
∴△ACB是等边三角形，∴CO=

3

∵EC=2
∴EC²=EO²+CO²
∴EO⊥C0，
∵CO∩AB=O
∴EO⊥平面ABCD，
∵EO?平面EAB，
∴平面EAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）以AB中点O为坐标原点，分别以OC，OB，OE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，-1，0），C（

3

，0，0），D（

3

，-2，0），E（0，0，1）
∴

EC

=(

3

，0，-1)，

DC

=(0，2，0)，

AE

=(0，1，1)
设平面CDE的法向量

n

=（x，y，z），则由

EC • n =0 DC • n =0

，可得

3 x-z=0 2y=0

∴可取

n

=(

3

3

，0，1)
设直线AE与平面CDE所成角为θ，则sinθ=|

AE • n

| AE || n |

|=

1

2 × 2 3

=

6

4

∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值是

6

4

．

点评：本题考查线面垂直、面面垂直的判定方法，考查直线与平面所成的角，考查向量知识的运用，掌握线面垂直、面面垂直的判定方法是关键．