Question

14．设函数f（x）=（x-a）lnx+b．
（1）当a=0时，讨论函数f（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）上的零点个数；
（2）当a＞1且函数f（x）在（1，e）上有极小值时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，求出函数的最小值，再根据最小值和0的关系分类讨论即可得到函数零点的个数，
（2）函数f（x）在（1，e）上有极小值时，则函数f（x）在（1，e）上不单调，先求导，构造函数g（x）=lnx+$\frac{x-a}{x}$，得到函数在（1，e）上单调递增，
即可以得到$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＜0}\\{g（e）＞0}\end{array}\right.$，解得即可

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=xlnx+b，
∴f′（x）=1+lnx≥0在[$\frac{1}{e}$，+∞）上恒成立，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）单调递增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$+b，
当-$\frac{1}{e}$+b≤0时，即b≥$\frac{1}{e}$时，函数有唯一的零点，
当-$\frac{1}{e}$+b＞0时，即b=$\frac{1}{e}$，函数没有零点，
（2）∵f′（x）=lnx+$\frac{x-a}{x}$，x∈（1，e）
令g（x）=lnx+$\frac{x-a}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
∴g（x）在（1，e）上单调递增，
∴g（x）＞g（1）=1-a，g（x）＜g（e）=2-$\frac{a}{e}$，
∵函数f（x）在（1，e）上有极小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=1-a＜0}\\{g（e）=2-\frac{a}{e}＞0}\end{array}\right.$，
解得1＜a＜2e，
故a的取值范围为（1，2e）

点评 本题考查了导数和函数的极值的关系以及函零点的个数问题，考查了学生分析问题，解决问题的能力，以及运算、分类讨论、转化的能力，属于中档题