Question

给出四个等式：        1＝1

1－4＝－(1＋2)

1－4＋9＝1＋2＋3

1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)

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（1）写出第5,6个等式，并猜测第n(n∈N^*)个等式

（2）用数学归纳法证明你猜测的等式．

Answer 1

第n行等式为：

1²－2²＋3²－4²＋…＋(－1)^n－1n²＝(－1)^n－1 ·(1＋2＋3＋…＋n)．---6分

证明：(1)当n＝1时，左边＝1²＝1，

右边＝(－1)⁰×＝1，左边＝右边，等式成立．--------8分

(2)假设n＝k(k∈N^*)时，等式成立，即1²－2²＋3²－4²＋…＋(－1)^k－1k²＝

(－1)^k－1·.   则当n＝k＋1时，

1²－2²＋3²－4²＋…＋(－1)^k－1k²＋(－1)^k(k＋1)²

＝(－1)^k－1·＋(－1)^k(k＋1)²＝(－1)^k(k＋1)·