Question

（2012•泸州一模）已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n-3a_n+2n=0（其中n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=

log3(an+1)

3n

，且T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n；
（Ⅲ）设cn=

1

1+ 1 an+1

+

1

1- 1 an+1+1

，数列{c_n}的前n项和为M_n，求证：Mn＞2n-

1

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2S_n-3a_n+2n=0①，可得2S_n+1-3a_n+1+2（n+1）②，由①②即可证得数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求得b_n=

n

3n

，利用错位相减法即可求得T_n；
（Ⅲ）可求得c_n═2-

1

1+3n

+

1

3n+1-1

，M_n=c₁+c₂+…+c_n=2n-[（

1

1+31

-

1

31+1-1

）+（

1

1+32

-

1

32+1-1

）+…+（

1

1+3n

-

1

3n+1-1

）]．利用放缩法与累加法即可证明结论．

解答：（Ⅰ）证明：∵2S_n-3a_n+2n=0①，
∴2S_n+1-3a_n+1+2（n+1）②，
②-①得：2a_n+1-3（a_n+1-a_n）+2=0，
∴a_n+1=3a_n+3．
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
∴

an+1+1

an+1

=3，
又2a₁-3a₁+2=0，故a₁=2，a₁+1=3，
∴数列{a_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-1．
（Ⅱ）∵b_n=

log3(an+1)

3n

=

log3(3n-1+1)

3n

=

n

3n

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

，③

1

3

T_n=

1

32

+

2

33

+…+

n-1

3n

+

n

3n+1

④
③-④得：

2

3

T_n=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

3n-1

2•3n

-

n

3n+1

，
∴T_n=

3

4

-

1

4

•

2n+3

3n

．
（Ⅲ）∵cn=

1

1+ 1 an+1

+

1

1- 1 an+1+1

=

3n

1+3n

+

3n+1

3n+1-1

=

(3n+1)-1

1+3n

+

(3n+1-1)+1

3n+1-1

=2-

1

1+3n

+

1

3n+1-1

．
∴M_n=c₁+c₂+…+c_n=2n-[（

1

1+31

-

1

31+1-1

）+（

1

1+32

-

1

32+1-1

）+…+（

1

1+3n

-

1

3n+1-1

）]．
∵

1

1+31

＜

1

3

，

1

31+1-1

＞

1

31+1

，-

1

31+1-1

＜-

1

31+1

，
∴

1

1+31

-

1

31+1-1

＜

1

3

-

1

31+1

，⑤
同理

1

1+32

-

1

32+1-1

＜

1

31+1

-

1

32+1

，⑥
…

1

1+3n

-

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

⑦
∴（

1

1+31

-

1

31+1-1

）+（

1

1+32

-

1

32+1-1

）+…+（

1

1+3n

-

1

3n+1-1

）＜

1

3

-

1

3n+1

＜

1

3

∴-[（

1

1+31

-

1

31+1-1

）+（

1

1+32

-

1

32+1-1

）+…+（

1

1+3n

-

1

3n+1-1

）]＞-

1

3

∴M_n＞2n-

1

3

．

点评：本题考查数列与不等式的综合，着重考查等比关系的确定于数列的求和，突出错位相减法与放缩法、累加法的应用，综合题性强，属于难题．