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    已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．
    （1）设
    BC
    •
    CA
    =
    CA
    •
    AB
    ，求证：△ABC是等腰三角形；
    （2）设向量
    s
    =（2sinC，-
    		3
    ），
    t
    =（cos2C，2cos2
    C
    2
    -1），且
    s
    ∥
    t
    ，若sinA=
    2
    3
    ，求sin（
    π
    3
    -B）的值．
    分析：（1）由已知可得
    CA
    •(
    BC
    -
    AB
    )=0    ，结合三角形的知识可得
    CA
    =-(
    AB
    +
    BC
    )    ，代入可证|
    AB
    |2=|
    BC
    |2    ，即|
    AB
    |=|
    BC
    |    ，从而可证
    （2）由
    s
    ∥
    t
    ，根据向量平行的坐标表示可得2sinC(2cos2
    C
    2
    -1)=-
    		3
    cos2C    ，整理可得tan2C=-
    		3
    结合已知C的范围可求C=
    π
    3
    ，根据三角形的内角和可得，A=
    2π
    3
    -B    ，从而有sin(
    π
    3
    -B)=sin[(
    2π
    3
    -B)-
    π
    3
    ]=sin(A-
    π
    3
    )    ，又sinA=
    2
    3
    ，且A为锐角，可得cosA=
    		5
    3
    ，利用差角公式可求
    解答：解：（1）因为
    BC
    •
    CA
    =
    CA
    •
    AB
    ，所以
    CA
    •(
    BC
    -
    AB
    )=0    ，又
    AB
    +
    BC
    +
    CA
    =0    ，所以
    CA
    =-(
    AB
    +
    BC
    )，所以-(
    AB
    +
    BC
    )•(
    BC
    -
    AB
    )=0，所以
    AB
    2    -
    BC
    2    =0    ，（4分）
    所以|
    AB
    |2=|
    BC
    |2    ，即|
    AB
    |=|
    BC
    |    ，故△ABC为等腰三角形．（6分）
    （2）∵
    s
    ∥
    t
    ，∴2sinC(2cos2
    C
    2
    -1)=-
    		3
    cos2C
    ∴sin2C=-
    		3
    cos2C    ，即tan2C=-
    		3
    ，∵C为锐角，∴2C∈（0，π），
    ∴2C=
    2π
    3
    ，∴C=
    π
    3
    ．（8分）
    ∴A=
    2π
    3
    -B    ，∴sin(
    π
    3
    -B)=sin[(
    2π
    3
    -B)-
    π
    3
    ]=sin(A-
    π
    3
    )    ．（10分）
    又sinA=
    2
    3
    ，且A为锐角，∴cosA=
    		5
    3
    ，（12分）
    ∴sin(
    π
    3
    -B)=sin(A-
    π
    3
    )=sinAcos
    π
    3
    -cosAsin
    π
    3
    =
    2-
    		15
    6
    ．（14分）
    点评：平面向量与三角函数结合的试题是高考近几年的热点之一，而通常是以平面向量的数量积为工具，结合三角公式最终转化为三角函数形式，结合三角函数的性质．属于基础知识的简单综合试题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，定义向量
    m
    =(2sinB，-
    		3
    )，
    n
    =(cos2B，2cos2
    B
    2
    -1)且
    m
    ∥
    n
    ．
    （1）求函数f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调递增区间；
    （2）如果b=2，求△ABC的面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•许昌三模）已知向量
    a
    =(
    1
    2
    ，
    1
    2
    sinx+
    		3
    2
    cosx)    与 
    b
    =(1，y)    共线，设函数y=f（x）．
    （1）求函数f（x）的周期及最大值；
    （2）已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C，若有f(A-
    π
    3
    )=
    		3
    ，边BC=
    		7
    ，sinB=
    		21
    7
    ，求△ABC的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．
    （1）设
    BC
    •
    CA
    =
    CA
    •
    AB
    ，求证△ABC是等腰三角形；
    （2）设向量
    s
    =(2sinC，-
    		3
    )    ，
    t
    =(cos2C，2cos2
    C
    2
    -1)    ，且
    s
    ∥
    t
    ，若sinA=
    12
    13
    ，求sin(
    π
    3
    -B)    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•烟台二模）已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量
    m
    =（2sinB，
    		3
    ），
    n
    =(2cos2
    B
    2
    -1，cos2B)    ，且
    m
    ⊥
    n
    ，
    （1）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调减区间；
    （2）如果b=4，求△ABC面积的最大值．

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