Question

（2011•许昌三模）已知向量

a

=(

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx)与 

b

=(1，y)共线，设函数y=f（x）．
（1）求函数f（x）的周期及最大值；
（2）已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C，若有f(A-

π

3

)=

3

，边BC=

7

，sinB=

21

7

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据向量共线的条件，结合向量

a

=(

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx)与 

b

=(1，y)共线，可求函数f（x）的解析式，从而可求函数的周期与最大值；
（2）根据f(A-

π

3

)=

3

，可得A=

π

3

，利用正弦定理可得AC=2，求出sinC的值，即可求得△ABC的面积．

解答：解：（1）∵向量

a

=(

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx)与 

b

=(1，y)共线
∴

1

2

y= 

1

2

sinx+

3

2

cosx
∴y=f(x)=2sin(x+

π

3

)
∴函数f（x）的周期T=2π
当x=2kπ+

π

6

，k∈Z时，函数f（x）的最大值为2；
（2）∵f(A-

π

3

)=

3

∴2sin(A-

π

3

+

π

3

)=

3

∴sinA=

3

2

∵0＜A＜

π

2

∴A=

π

3

∵BC=

7

，sinB=

21

7

，
∴

7

sin π 3

=

AC

21 7

∴AC=2
∵sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

2

×

2 7

7

+

1

2

×

21

7

=

3 21

14

∴△ABC的面积S=

1

2

×2×

7

×

3 21

14

=

3 3

2

．

点评：本题考查三角函数解析式与性质，考查三角形的面积，解题的关键是利用向量知识，确定函数的解析式．