Question

【题目】定义在非零实数集上的函数满足： ，且在区间上为递增函数．

（1）求、的值；

（2）求证： 是偶函数；

（3）解不等式．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：本题为抽象函数问题，解决抽象函数的基本方法有两种：一是赋值法，二是“打回原型”，本题第一步采用赋值法，先给x,y赋值1，求出f(1)，再给x,y赋值-1，求出f(-1)；最后给y赋值-1，判断函数奇偶性，就是寻求f(-x)与f(x)的关系，给y赋值-1，判断出函数的奇偶性；再根据函数的奇偶性，得出函数图像的对称性，利用已知所提供的函数的单调性，借助f(-1)=f(1)=0,画出函数的图像，根据函数的奇偶性和单调性转化不等式，解不等式.

试题解析：

⑴令 则 即

令 则 即

⑵令 则 即

为偶函数

⑶由题意可知的大致图象为

原不等式等价于

即且

不等式的解集为

【点精】本题为抽象函数问题，解决抽象函数的基本方法有两种：一是赋值法，二是“打回原型”，赋值法是最常用的解题方法，巧妙的赋值可求出函数的特值，也可以判断抽象函数的奇偶性，也可以证明函数的单调性，借助函数的奇偶性和单调性以及特殊点特殊值可以模拟出函数的图象，在此基础上可以解不等式或解决其它函数问题.