Question

【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且a1=1，an+12=Sn+1+Sn ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=a2n﹣1 ， 求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（1）∵an+12=Sn+1+Sn ， ∴当n≥2时，=Sn+Sn﹣1 ， 可得an+12﹣=an+1+an ，
∵an+1+an＞0，∴an+1﹣an=1．
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴an=1+（n﹣1）×1=n．
（2）bn=a2n﹣1=（2n﹣1）2n ．
∴数列{bn}的前n项和Tn=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n ．
∴2Tn=22+3×23+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1 ，
∴﹣Tn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）2n+1=（3﹣2n）2n+1﹣6，
【解析】（1）由an+12=Sn+1+Sn ， 利用递推关系可得an+12﹣=an+1+an ， 由于an+1+an＞0，可得an+1﹣an=1．再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．