Question

已知向量

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），函数f（x）=

a

•

b

+

b

2．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）当

π

6

≤x≤

π

2

时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式化简得f（x）═5sin（2x+

π

6

）+

7

2

，再由三角函数的周期公式和单调区间公式，即可算出f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）由

π

6

≤x≤

π

2

，得

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，结合正弦函数的图象可得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，进而可以算出函数
f（x）的值域．

解答：解：（1）∵向量

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），
∴f（x）=

a

•

b

+

b

2=5

3

cosxsinx+2cos²x+（sin²x+4cos²x）
=

5 3

2

sin2x+

5

2

（1+cos2x）+1=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．---（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，（k∈Z）
∴函数的增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]．------------（8分）
（2）由

π

6

≤x≤

π

2

，得

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∵1≤5sin（2x+

π

6

）+

7

2

≤

17

2

，
∴当

π

6

≤x≤

π

2

时，求函数f（x）的值域为[1，

17

2

]．---------------（14分）

点评：本题着重考查了向量数量积的坐标运算公式、正弦函数的图象与性质、三角函数的周期公式和三角恒等变换等知识点，属于中档题．