Question

14．已知数列{a_n}的前n项的乘积为T_n=3${\;}^{{n}^{2}}$（n∈N^*），则数列{a_n}的前n项的和为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）
• B． $\frac{9}{2}$（3ⁿ-1）
• C． $\frac{3}{8}$（9ⁿ-1）
• D． $\frac{9}{8}$（9ⁿ-1）

Answer 1

分析 通过T_n=3${\;}^{{n}^{2}}$（n∈N^*）与T_n-1=${3}^{（n-1）^{2}}$（n≥2）作商、整理可知a_n=3^2n-1，进而可知数列{a_n}是以3为首项、以9为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵T_n=3${\;}^{{n}^{2}}$（n∈N^*），
∴T_n-1=${3}^{（n-1）^{2}}$（n≥2），
两式作商可知：a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=${3}^{{n}^{2}-（n-1）^{2}}$=3^2n-1，
又∵a₁=T₁=3满足上式，
∴a_n=3^2n-1，即数列{a_n}是以3为首项、以9为公比的等比数列，
∴所求值为$\frac{3（1-{9}^{n}）}{1-9}$=$\frac{3}{8}$（9ⁿ-1），
故选：C．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．