Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n（n≥2），试判断T_n与2的大小，并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），得，
∵a₁=1，∴=，=，=． …（3分）
又由得=+，即-=，
∴{}是以1为首项，为公差的等差数列，
∴=1+（n-1）=，∴． …（7分）
（Ⅱ）T_n＜2． 证明如下：…（8分）
当n≥2时，a_n-1a_n=•=4（），…（10分）
∴T_n=4[（）+（）+…+（）]=4（）=2-＜2…（15分）
分析：（Ⅰ）由a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），得，代入计算可求a₂，a₃，a₄的值，确定{}是以1为首项，为公差的等差数列，可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列的通项，利用裂项法求和，可判断T_n与2的大小．
点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查裂项法求数列的和，属于中档题．