Question

如图，海上有A，B两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60°，现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且OC=BO．设AC=xkm．
（1）用x分别表示OA²+OB²和OA•OB，并求出x的取值范围；
（2）晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据OC=BO，分别在△OAC与△OAB中利用余弦定理，可得x²=OA²+OB²+OA•OB且100=OA²+OB²-OA•OB．两式联解即可得出用x表示OA²+OB²、OA•OB的式子，再根据基本不等式与实际问题有意义建立关于x的不等式组，解之即可得到x的取值范围；
（2）根据AO是△AOB的中线，利用三角形的面积公式算出S_△ABC=2S_△AOB=

1

2

•AC•BD，解出BD=

3 (x2-100)

2x

．设BD=f（x），利用导数研究f（x）的单调性可得f'（x）＞0，所以f（x）在区间（10，10

3

]上是增函数，可得当x=10

3

时f（x）有最大值，由此可得当AC=10

3

时BD的最大值为10．

解答：解：（1）在△OAC中，∠AOC=120°，AC=x，
根据余弦定理，可得OA²+OC²-2OA•OCcos120°=AC²=x²，
又∵OC=BO，∴x²=OA²+OB²-2OA•OBcos120°，即x²=OA²+OB²+OA•OB…①
在△OAB中，AB=10，∠AOB=60°，
∴由余弦定理，得OA²+OB²-2OA•OBcos60°=100，即100=OA²+OB²-OA•OB …②，
①+②，可得OA²+OB²=

1

2

（x²+100），
①-②，可得2OA•OB=x²-100，即OA•OB=

1

2

（x²-100），
又∵OA²+OB²≥2OA•OB，∴

1

2

（x²+100）≥2×

1

2

（x²-100），解得x²≤300，
∵OA•OB=

1

2

（x²-100）＞0，即x²＞100，
∴100＜x²≤300，解之得10＜x≤10

3

；
（2）∵O是BC的中点，可得S_△AOC=S_△AOB，
∴S_△ABC=2S_△AOB=2×

1

2

OA•OBsin60°=

3

2

×

1

2

（x²-100）=

3

4

（x²-100）．
又∵S_△ABC=

1

2

•AC•BD，∴

1

2

•x•BD=

3

4

（x²-100），得BD=

3 (x2-100)

2x

．
设BD=f（x），可得f（x）=

3 (x2-100)

2x

，其中x∈（10，10

3

]
∵f'（x）=

3

2

(1+

100

x2

)＞0，
∴f（x）在区间（10，10

3

]上是增函数，
可得当x=10

3

时，f（x）的最大值为

3 [(10 3 )2-100]

2×10 3

=10，即BD的最大值为10．

点评：本题给出实际应用问题，求B岛至光线CA的距离BD的最大值．着重考查了余弦定理、三角形的面积公式、利用导数研究函数的单调性等知识，考查了解三角形知识在实际问题中的应用，属于中档题．