Question

6．已知x²+2y²=1，求2x+5y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 x²+2y²=1，可得y²=$\frac{1-{x}^{2}}{2}$≥0，-1≤x≤1．于是2x+5y²=$-\frac{5}{2}$$（x-\frac{2}{5}）^{2}$+$\frac{29}{10}$=f（x），再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵x²+2y²=1，
∴y²=$\frac{1-{x}^{2}}{2}$≥0，解得0≤x²≤1，因此-1≤x≤1．
∴2x+5y²=2x+5×$\frac{1-{x}^{2}}{2}$=$-\frac{5}{2}$$（x-\frac{2}{5}）^{2}$+$\frac{29}{10}$=f（x），
∵-1≤x≤1，
∴当x=$\frac{2}{5}$时，f（x）取得最大值$\frac{29}{10}$．
又f（-1）=-2，f（1）=2，
∴当x=-1时，f（x）取得最小值-2．
∴2x+5y²的最大值和最小值分别为$\frac{29}{10}$，-2．

点评 本题考查了二次函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．