Question

16．已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且$tanB=\frac{{\sqrt{3}sinAsinC}}{{{{sin}^2}A+{{sin}^2}C-{{sin}^2}B}}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若$b=\sqrt{3}$，求a+c的最大值，并求此时的三角形面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理、余弦定理，结合条件，即可求角B的大小；
（Ⅱ）由余弦定理可得3=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$=（a+c）²-3ac≥（$\frac{1}{4}$a+c）²，即可求a+c的最大值，并求此时的三角形面积．

解答 解：（Ⅰ）∵$tanB=\frac{{\sqrt{3}sinAsinC}}{{{{sin}^2}A+{{sin}^2}C-{{sin}^2}B}}$，
∴tanB=$\frac{\sqrt{3}ac}{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜B＜π
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理可得3=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$=（a+c）²-3ac≥（$\frac{1}{4}$a+c）²，
∴a+c≤2$\sqrt{3}$，
∴a+c的最大值为2$\sqrt{3}$，
此时a=c=b=$\sqrt{3}$，S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×3$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．