Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当-1≤x＜0时，f(x)=-

2x

4x+1

．
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上解析式；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给予证明；
（Ⅲ）当x∈（0，1]时，关于x的方程

2x

f(x)

-2x+λ=0有解，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得，f（0）=0，设 x∈（0，1]，可得，-x∈[-1，0），结合已知函数解析式及f（x）=-f（-x）即可求解；
（Ⅱ）先设任意x₁、x₂（0，1]，且x₁＜x₂，然后利用作差法比较f（x₁），f（x₂）的大小即可判断
（Ⅲ）利用换元法，设t=2^x，则t∈（1，2]，然后结合二次函数在闭区间上的最值求解即可

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴当x=0时，f（x）=0，…（1分）
当 x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），
所以f(x)=-f(-x)=

2x

1+4x

，…（4分）
综上：f(x)=

2x 1+4x ，x∈(0，1] 0，       x=0 - 2x 1+4x ，x∈[-1，0).

．…（5分）
（Ⅱ）证明：任意x₁、x₂（0，1]，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

(2x1-2x2)(1-2x1+x2)

(1+4x1)(1+4x2)

由x₁＜x₂，故2x1＜2x2，又1-2x1+x2＜0，(1+4x1)(1+4x2)，
所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1）上单调递减．…（9分）
（Ⅲ）λ=2^x-1-4^x，
设t=2^x，则t∈（1，2]，
故λ=-t2+t-1=-(t-

1

2

)2-

3

4

∈[-3，-1)．…（14分）

点评：本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，函数的单调性的判断与证明及二次函数闭区间上的最值求解等综合应用．