Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零．
（1）证明f（x）在[-1，1]上是减函数；
（2）如果f（x-c），f（x-c²）的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；
（3）证明：若-1≤c≤2，则f（x-c），f（x-c²）存在公共的定义域，并求出这个公共的定义域．

Answer 1

分析：（1）由已知对任意的x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，从而x₁-x₂与f（x₁）-f（x₂）异号，所以f（x）在[-1，1]上是减函数．
（2）由f（x-c）的定义域得f（x-c²）的定义域，根据题目条件可得关于c的不等式，通过求解可得c的取值范围．
（3）有（2）问可知：当-1≤c≤2时，f（x-c），f（x-c²）存在公共的定义域．若c²-1≤c+1，即1≤c≤2或-1≤c≤0时，c²+1≥c+1，c²-1≥c-1，此时的交集是[c²-1，c+1]；若0＜c＜1，则c²+1＜c+1，c²-1＜c-1，此时的交集是[c-1，c²+1]

解答：解：（1）由已知对任意的x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁≠x₂，
都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，从而x₁-x₂与f（x₁）-f（x₂）异号，
所以f（x）在[-1，1]上是减函数．
（2）因为f（x-c）的定义域是[c-1，c+1]，f（x-c²）的定义域是[c²-1，c²+1]，
因为以上两个集合的交集为空集，所以c²-1＞c+1或c²+1＜c-1解得：c＞2或c＜-1
（3）因为c²+1＞c-1恒成立，有（2）问可知：当-1≤c≤2时，
f（x-c），f（x-c²）存在公共的定义域．
若c²-1≤c+1，即1≤c≤2或-1≤c≤0时，c²+1≥c+1，c²-1≥c-1，此时的交集是[c²-1，c+1]，即为公共的定义域；
若0＜c＜1，则c²+1＜c+1，c²-1＜c-1，此时的交集是[c-1，c²+1]，即为公共的定义域．

点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，函数的定义域及其求法，注意对题目条件的灵活转化，是个中档题．