Question

已知函数f（x）=|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+m²-7m．
（1）若方程f（x）=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；
（2）若对任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[3，+∞），使得f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）解方程f（x）=|m|，解得x=0，或x=2m．由题意可得 2m≥-4，且2m≠0，由此求得实数m的取值范围．
（2）命题等价于任意x₁∈（-∞，4]，任意的x₂∈[3，+∞），f_min（x₁）＞成立，分m＜3、3≤m＜4、
4≤m三种情况，分别求出实数m的取值范围再取并集，即得所求．
解答：解：（1）方程f（x）=|m|，即|x-m|=|m|，解得x=0，或x=2m．
要使方程|x-m|=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，
需 2m≥-4，且2m≠0．解得 m≥-2 且m≠0．
故实数m的取值范围为[-2，0）∪（0，+∞）．
（2）命题等价于任意x₁∈（-∞，4]，任意的x₂∈[3，+∞），f_min（x₁）＞成立．
又函数f（x）=|x-m|=，故f_min（x₁）=．
又函数g（x）=x|x-m|+m²-7m=，
故=．
当m＜3时，有0＞m²-10m+9，解得 1＜m＜3．
当 3≤m＜4，有0＞m²-7m，解得 3≤m＜4．
当4≤m，有m-4＞m²-7m，解得 4≤m＜4+2．
综上可得，1＜m＜4+2，故实数m的取值范围为（1，4+2 ）．
点评：本题主要考查带有绝对值的函数，方程根的存在性及个数判断，函数最值及其几何意义，属于中档题．