Question

已知α，β，γ∈（0，

π

2

），cosα+cosβ+cosγ=1，求tan²α+tan²β+8tan²γ的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,同角三角函数基本关系的运用

专题：不等式的解法及应用

分析：利用诱导公式转化所求表达式为三个角的余弦函数的形式，通过“1”的代换，利用基本不等式求解表达式的最值，即可．

解答： 解：α，β，γ∈（0，

π

2

），故三个角的三角函数值都大于0，
Y=tan²α+tan²β+8tan²γ=

1

cos2α

+

1

cos2β

+

8

cos2γ

-10，
而cosα+cosβ+cosγ=1可得：（cosα+cosβ+cosγ）²=1
为方便起见，令：cosα=x，cosβ=y，cosγ=z，x、y、z∈（0，1）．
则Y=

1

x2

+

1

y2

+

8

z2

-10
且（x+y+z）²=1∴Y=Y=

(x+y+z)2

x2

+

(x+y+z)2

y2

+

8(x+y+z)2

z2

-10，
即Y=(

y2

x2

+

x2

y2

)+(

z2

x2

+

8x2

z2

)+(

z2

y2

+

8y2

z2

)+(

2y

x

+

2x

y

)+(

2z

x

+

16x

z

)+(

2z

y

+

16y

z

)+(

2yz

x2

+

2zx

y2

+

16xy

z2

)≥2+4

2

+4

2

+4+8

2

+3

3	64

=18+24

2

，
当且仅当x=y=

2

4

z时取等号，
所以所求的最小值为18+24

2

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．本题是中档题．