Question

12．若$α∈（0，\frac{π}{2}）$，若$cos（α+\frac{π}{6}）=\frac{4}{5}$，则$sin（2α+\frac{π}{3}）$的值为（　　）

• A． $\frac{12}{25}$
• B． $\frac{24}{25}$
• C． $-\frac{24}{25}$
• D． $-\frac{12}{25}$

Answer 1

分析 由题意求得sin（α+$\frac{π}{6}$）的值，再利用二倍角的正弦公式求得$sin（2α+\frac{π}{3}）$的值．

解答 解：∵$α∈（0，\frac{π}{2}）$，若$cos（α+\frac{π}{6}）=\frac{4}{5}$，则α+$\frac{π}{6}$为锐角，∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{3}{5}$，
则$sin（2α+\frac{π}{3}）$=2sin（α+$\frac{π}{6}$）cos（α+$\frac{π}{6}$）=2•$\frac{3}{5}$•$\frac{4}{5}$=$\frac{24}{25}$，
故选：B．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．