Question

【题目】已知函数f（x）= （e是自然对数的底数），h（x）=1﹣x﹣xlnx．
（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求h（x）的单调区间；
（3）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= 的导数为 = ，

可得曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线斜率为0，

切点为（1， ），可得曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y=

（2）解：h（x）=1﹣x﹣xlnx求导数得h′（x）=﹣1﹣（1+lnx），x∈（0，+∞），

令h′（x）=﹣2﹣lnx=0，x∈（0，+∞），可得x=e﹣2，

当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0；当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0．

因此h（x）的单调递增区间为（0，e﹣2），单调递减区间为（e﹣2，+∞）

（3）证明：因为g（x）=xf′（x）．

所以g（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．

由h（x）=1﹣x﹣xlnx，

求导得h′（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），

所以当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；

当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．

所以当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．

又当x∈（0，+∞）时，0＜ ＜1，

所以当x∈（0，+∞）时， h（x）＜1+e﹣2，即g（x）＜1+e﹣2．

综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2

【解析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）求导数，利用导数的正负，求h（x）的单调区间；（3）g（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，确定当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．当x∈（0，+∞）时，0＜ ＜1，即可证明结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．