Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（Ⅰ）证明：不论m取什么实数，直线l恒过定点（3，1）；
（Ⅱ）求直线l与圆C所截得的弦长最小时直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知直线l的方程变形为m（2x+y-7）+x+y-4=0，可得直线l必过直线2x+y-7=0与直线x+y+4=0的交点，故联立两直线的方程组成方程组，求出方程组的解，得到交点坐标为（3，1），故不论m取什么实数，直线l恒过定点（3，1），得证；
（Ⅱ）由A到圆心的距离d小于圆的半径，判断得到点A在圆内，故直线l与圆C所截得的弦长最小时，为与直径AC垂直的弦，故连接AC，过A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于B、D，BD为直线被圆所截得的最短弦长，由A与C的坐标求出直线AC的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出直线BD的斜率，再由A的坐标，写出直线BD的方程，即为所求的直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵直线方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，
可以改写为m（2x+y-7）+x+y-4=0，…（3分）
∴直线必经过直线2x+y-7=0和x+y-4=0的交点，
由方程组

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得

x=3 y=1

，即两直线的交点为A（3，1），…（5分）
则不论m取什么实数，直线l恒过定点（3，1）；…（6分）
（Ⅱ）∵圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，
∴圆心C（1，2），半径r=5，
∵点A（3，1）与圆心C（1，2）的距离d=

5

＜5，
∴A点在C内，
连接AC，过A作AC的垂线，
此时的直线与圆C相交于B、D，BD为直线被圆所截得的最短弦长，…（8分）．
∵直线AC的斜率kAC=-

1

2

，…（10分）
∴直线BD的斜率为2，
则此时直线l方程为：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．…（12分）

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及恒过定点的方程，涉及的知识有：点与圆位置的判断，两点间的距离公式，两直线的交点坐标，圆的标准方程，垂径定理，以及两直线垂直时斜率满足的关系，把直线l的方程适当变形为m（2x+y-7）+x+y-4=0是解第一问的关键，连接AC，过A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于B、D，BD为直线被圆所截得的最短弦长是解第二问的关键．