Question

6．若两个函数y=f（x），y=g（x）在给定相同的定义域上恒有f（x）g（x）≥0，则称这两个函数是“和谐函数”，已知f（x）=ax-20，$g（x）=lg（\frac{x}{a}）（a∈R）$在x∈N^*上是“和谐函数”，则a的取值范围是[4，5]．

Answer 1

分析 运用对数函数的定义域可得a＞0，求得f（x），g（x）的零点，由于4×5=20，讨论当0＜a＜4时，当a＞5时，当4≤a≤5时，由不等式的性质即可得到所求范围．

解答 解：由定义域可得$\frac{x}{a}$＞0，由题意可得a＞0．
由f（x）=0，可得x=$\frac{20}{a}$，由g（x）=0，可得x=a．
由题意可得两零点之间无正整数，
由于4×5=20，所以当0＜a＜4时，$\frac{20}{a}$＞5，不满足题意；
当a＞5时，0＜$\frac{20}{a}$＜4，不满足题意；当4≤a≤5时，4≤$\frac{20}{a}$≤5，满足题意．
故答案为：[4，5]．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的零点的求法，以及转化思想，分类讨论思想，属于中档题．