Question

（2013•兰州一模）已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足

PN

+

1

2

NM

=

0

，

PM

•

PF

=0．
（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出N点的坐标，由已知条件

PN

+

1

2

NM

=0可知P为MN的中点，由题意设出P和M的坐标，求出

PM

和

PF

的坐标，代入

PM

•

PF

=0可求动点N的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系写出A，B两点的纵坐标的和与积，假设存在点C（m，0）满足条件，则

CA

=(x1-m，y1)，

CB

=(x2-m，y2)，由
|CA|²+|CB|²=|AB|²成立得到

CA

•

CB

=0，代入坐标后得到关于m的一元二次方程，分析知方程有解，从而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）设N（x，y），则由

PN

+

1

2

NM

=0，得P为MN的中点．
∴P(0，

y

2

)，M（-x，0）．
∴

PM

=(-x，-

y

2

)，

PF

=(1，-

y

2

)．
∴

PM

•

PF

=-x+

y2

4

=0，即y²=4x．
∴动点N的轨迹E的方程y²=4x．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），由

y=k(x-1) y2=4x

，消去x得y2-

4

k

y-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 y1+y2=

4

k

，y₁y₂=-4．
假设存在点C（m，0）满足条件，则

CA

=(x1-m，y1)，

CB

=(x2-m，y2)，
∴

CA

•

CB

=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2
=(

y1y2

4

)2-m(

y12+y22

4

)+m2-4
=-

m

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+m2-3
=m2-m(

4

k2

+2)-3．
∵△=(

4

k2

+2)2+12＞0，
∴关于m的方程m2-m(

4

k2

+2)-3=0有解．
∴假设成立，即在x轴上存在点C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题是考查的中点，常和弦长问题、存在性问题结合考查，解答时往往采用“设而不求”的解题方法，借助于一元二次方程的根与系数关系解题，该种类型的问题计算量较大，要求学生有较强的运算能力，是难题．