Question

极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C₂的参数方程为

x=2+2t y= 3 -2 3 t

（其中t为参数）
（1）求曲线C₁的直角坐标方程和曲线C₂的普通方程；
（2）判断曲线C₁和曲线C₂的位置关系；若曲线C₁和曲线C₂相交，求出弦长．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）把极坐标方程利用极坐标和直角坐标的互化公式化为直角坐标方程、把参数方程消去参数，化为直角坐标方程．
（2）利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再利用弦长公式求得弦长．

解答： 解：（1）由ρ=4cosθ 可得ρ²=4ρcosθ，化为直角坐标方程为 x²+y²=4x．
∵曲线C₂的参数方程为

x=2+2t y= 3 -2 3 t

（其中t为参数），用代入法消去参数可得
曲线C₂ 的普通方程为：

3

x+y-3

3

=0．
（2）由（1）得，圆C₁的圆心为（2，0），半径为2，
圆心到直线的距离为d=

|2 3 +0-3 3 |

2

=

3

2

＜2，
所以曲线C₁和曲线C₂的相交，所求弦长为：2

22-( 3 2 )2

=

13

．

点评：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，直线和圆的位置关系，属于中档题．