Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：
①当x∈[1，3）时，f（x）=

x-1，1≤x≤2 3-x，2＜x＜3

，
②f（3x）=3f（x），
作出f（x）的图象．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：先画出当x∈[1，3）时，f（x）=

x-1，1≤x≤2 3-x，2＜x＜3

，时函数的图象，再利用f（3x）=3f（x）变换出函数f（x）在定义域其它区间上的图象．

解答： 解：当x∈[1，3）时，f（x）=

x-1，1≤x≤2 3-x，2＜x＜3

时，其图象分别是[1，2]和（2，3）上的两段线段；
又因为f（3x）=3f（x）可以看作是，对于函数y=f（t），当t=3x及t=x时，其函数值是3倍关系，即自变量取值变成原来三倍时，其函数值也相应变为原来的三倍；相同道理，当把自变量变成原来的

1

3

时，函数值也相应的变成原来的

1

3

；
则将函数f（x）在[1，3）上图象的每个点横坐标变成原来的三倍，纵坐标也变成原来的三倍，就可得到其在[3，9）上的图象；依此类推，依次可得到函数f（x）在[3，9）、[9，27）、[27，81）…的图象；同理，[1，3）每个点横坐标变成原来的

1

3

，纵坐标也相应变成原来的

1

3

，因此可得到[

1

3

，1）上的图象，依此类推，可得到[

1

3

，1）、[

1

9

，

1

3

）…的图象．

点评：此题主要考查图象的画法，主要是通过研究函数的性质做出图象，一是考查了出了函数图象的伸缩变换，又考查了函数的类似于“周期性”的性质，此题有一定的难度．