Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁=

1

3

，公比q满足q＞0且q≠1，又已知a₁，5a₃，9a₅成等差数列
（1）求数列{a_n}的通项．
（2）令b_n=log₃

1

an

，求

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列和等差数列的性质建立方程组，即可求出数列{a_n}的通项．
（2）求出b_n的通项公式，利用裂项法即可求和．

解答： 解：（1）在等比数列{a_n}中，
∵a1=

1

3

，a₁，5a₃，9a₅成等差数列，
∴2×5a₃=a₁+9a₅
即：10a1•q2=a1+9a1•q4，
∴9q⁴-10q²+1=0，
解得：q2=

1

9

  ， q2=1
又∵q＞0且q≠1
∴q=

1

3

∴an=(

1

3

)n
（2）∵bn=log3

1

an

，
∴b_n=n，
则

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

点评：本题主要考查数列的通项公式的求解，以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键．