Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2S_n+1=S_n+λ（n∈N^*，λ为常数），a₁=2，a₂=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求所有满足等式

Sn-m

Sn+1-m

=

1

am+1

成立的正整数m，n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用条件a₁=2，a₂=1建立方程组，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出S_n，利用等式

Sn-m

Sn+1-m

=

1

am+1

成立，解方程即可得到结论．

解答： 解：（1）由题意，得2S₂=S₁+λ，求得λ=4．
所以，2S_n+1=S_n+4①
当n≥2时，2S_n=S_n-1+4②
①-②，得an+1=

1

2

an（n≥2），又a2=

1

2

a1，
所以数列{a_n}是首项为2，公比为

1

2

的等比数列．
所以{a_n}的通项公式为an=(

1

2

)n-2（n∈N^*）．
（2）由（1），得Sn=4(1-

1

2n

)，
由

Sn-m

Sn+1-m

=

1

am+1

，得1+

an+1

Sn-m

=1+am，化简得

2

(4-m)2n-4

=

4

2m

，
即（4-m）2ⁿ-4=2^m-1，即（4-m）2ⁿ=4+2^m-1．（*）
因为2^m-1+4＞0，所以（4-m）•2ⁿ＞0，所以m＜4，
因为m∈N^*，所以m=1或2或3．
当m=1时，由（*）得3×2ⁿ=5，所以无正整数解；
当m=2时，由（*）得2×2ⁿ=6，所以无正整数解；
当m=3时，由（*）得2ⁿ=8，所以n=3．
综上可知，存在符合条件的正整数m=n=3．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，考查学生的计算能力．