Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：
（1）AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）BD₁⊥平面ACB₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由AC⊥BD，AC⊥BB₁，由此能够证明AC⊥平面B₁D₁DB．
（2）利用线面垂直的判定与性质，证明AC⊥BD₁，AB₁⊥BD₁，即可证得结论．

解答： 证明：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁B⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BB₁，
又∵AC⊥BD，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）∵AC⊥平面BDD₁B₁，
又BD₁?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥BD₁，同理可证AB₁⊥BD₁，
∵AC与AB₁是平面ACB₁内的两条相交直线，
∴BD₁⊥平面ACB₁．

点评：本题考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．