Question

设正数列{a_n}的前{a_n}项和为n，且2

Sn

=an+1．
（1）求数列{a_n}的首项a₁；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

1

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前{a_n}项和，求使得Tn＜

m

18

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接在递推式中取n=1求得a₁；
（2）在递推式中取n=n+1得另一递推式，作差后得到数列{a_n}是等差数列并求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（3）利用裂项相消法求出数列{b_n}的前n项和，放缩后得到Tn＜

1

2

，由

1

2

≤

m

18

求得使Tn＜

m

18

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

解答： 解：（1）当n=1时，由2

S1

=a1+1且S₁=a₁，解得a₁=1；
（2）由2

Sn

=an+1，得4Sn=(an+1)2…①
∴4Sn+1=(an+1+1)2…②
②-①得：4Sn+1-4Sn=(an+1+1)2-(an+1)2，
化简，得（a_n+1+a_n）•（a_n+1-a_n-2）=0，
又由a_n＞0，得a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2．
∴数列{a_n}是以1为首项，公差为2的等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）×2，
即a_n=2n-1；
（3）把a_n=2n-1代入bn=

1

anan+1

，得：
bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=b₁+b₂+…b_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．
∴要使Tn＜

m

18

对所有n∈N^*都成立，只需

1

2

≤

m

18

，即m≥9．
∴满足条件的最小正整数m=9．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了利用放缩法证明不等式，是中高档题．