Question

在二项式（

3	x

-

1

2 3 x

）ⁿ的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中各项的系数和．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,二项式定理

专题：二项式定理

分析：（1）利用展开式的前三项的系数的绝对值成等差数列，推出关系式然后求解n的值；
（2）通过展开式的通项公式，令x的系数为0，即可求出展开式中的常数项；
（3）通过x=1，即可求解展开式中各项的系数和．

解答： 解：（1）依题意知(

3	x

-

1

2 3 x

)n展开式中的第r+1项为Tr+1=

C

r n

(

3	x

)n-r(-

1

2

)r(

1

3 x

)r=

C

r n

(-

1

2

)rx

n-2r

3

…（2分）
∴前三项系数的绝对值为：

C

0 n

，

C 1 n

2

，

C 2 n

4

即1，

n

2

，

n(n-1)

8

…（3分）
依题意知，n=1+

n(n-1)

8

，n2-9n+8=0
∴n=8（n=1舍去）…（5分）
（2）由（1）知Tr+1=

C

r 8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，令

8-2r

3

=0得r=4…（8分）
∴第五项T5=

C

4 8

(-

1

2

)4=

35

8

为常数项…（10分）
（3）令x=1得各项系数和为(

1

2

)8=

1

256

…（15分）

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查有理项是幂的指数为整数．