Question

如图四边形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF=BE=2，EF=4

2

，AB=2

2

，ABCD是矩形．AD⊥面ABEF．Q、M分别是AC，EF的中点，P是BM中点．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AM⊥平面BCM．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）根据M为EF中点，EF=4

2

，进而可知EM，进而可知AB∥EM，AB=EM，推断出四边形ABEM为平行四边形，连接AE，根据P是BM中点，推断出P是AE的中点，Q为AC中点，推断出在△AEC中，PQ∥EC，进而利用线面平行判定定理推断出PQ∥平面BCE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AM=BE=2，同理可得：BM=AF=2，又AB=2

2

，推断出AB²=AM²+BM²，进而可知AM⊥BM，根据四边形ABCD为矩形，推断出BC∥AD，又AD⊥平面ABEF，推断出BC⊥平面ABEF，根据线面垂直的性质可知BC⊥AM，利用线面垂直的判定定理推断出AM⊥平面BCM．

解答： 解：（Ⅰ）∵M为EF中点，EF=4

2

，
∴EM=2

2

，
∴AB∥EM，AB=EM，
∴四边形ABEM为平行四边形，
连接AE，
∵P是BM中点，
∴P是AE的中点，
∵Q为AC中点，
∴在△AEC中，PQ∥EC，
∵PQ?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AM=BE=2，
同理可得：BM=AF=2，
又AB=2

2

，
∴AB²=AM²+BM²，
∴AM⊥BM，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，
又AD⊥平面ABEF，
∴BC⊥平面ABEF，
∴BC⊥AM，
又BC∩BM=B，
∴AM⊥平面BCM．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．要求学生对基本定理和性质熟练记忆．