Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的定义域和值域

专题：常规题型,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）先逆用二倍角公式，然后逆用两角和的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，利用周期公式T=

2π

|ω|

求周期；
（Ⅱ）根据正弦函数的最值结合定义域求函数y=2sin（2x+

π

6

）最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）
∴T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]
∴-1≤2sin（2x+

π

6

）≤2
∴函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最小值为-1，最大值为2．

点评：本题考查了三角变换及三角函数的图象与性质，解题的关键是化成正弦型函数的标准形式．