Question

数列{a_n}的通项公式为a_n=20-3n．
（1）证明数列{a_n}是等差数列；
（2）求{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列的通项公式结合等差数列的定义证明；
（2）求出等差数列的前6项大于0，自第7项后小于0，当n≤6时数列{|a_n|}的前n项和即为等差数列{a_n}的前n项和，当n＞6时由等差数列{a_n}的前n项和的负值加上2倍等差数列的前6项和得答案．

解答： （1）证明：∵a_n=20-3n，
∴a_n+1=20-3（n+1），
则a_n+1-a_n=20-3（n+1）-20+3n=-3为常数．
∴数列{a_n}是等差数列；
（2）由a_n=20-3n＞0，得n＜

20

3

，
由n∈N^*，得n=1，2，3，4，5，6．
∴数列{a_n}的前6项大于0，自第7项后小于0．
又a₁=17，d=-3．
则当n≤6时，{|a_n|}的前n项和T_n=na1+

n(n-1)d

2

=17n-

3n(n-1)

2

=-

3n2

2

+

37n

2

；
当n＞6时，{|a_n|}的前n项和T_n=-(-

3n2

2

+

37n

2

)+2S6
=

3n2

2

-

37n

2

+2×(6×17-

6×5×3

2

)=

3n2

2

-

37n

2

+114．
∴T_n=

- 3n2 2 + 37n 2 ，n≤6 3n2 2 - 37n 2 +114，n＞6

．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了数列前n项和的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．