Question

给出一个正五棱柱．
（Ⅰ）用3种颜色给其10个顶点染色，要求各侧棱的两个端点不同色，有几种染色方案？
（Ⅱ）以其10个顶点为顶点的四面体共有几个？

Answer 1

考点：排列、组合及简单计数问题

专题：应用题,排列组合

分析：（1）利用间接法求解即可；
（2）从一个底面找3个点，另一底面找1个；从一底面找两个点，另一底面找两个点，除去4个点同面的20种情况，可得结论．

解答： 解：（1）3⁵-2⁵=7776
（2）从一个底面找3个点，另一底面找1个，两个底面共2

C

3 5

C

1 5

=100个；
从一底面找两个点，另一底面找两个点，除去4个点同面的20种情况，共5

C

2 5

C

2 5

-20=80种以上，
故共180种．

点评：本题考查排列、组合的综合运用，是典型的涂色问题；解决此类问题，一般要先定一点或面，进而对其他的点面分情况讨论．